Friday, May 25, 2018

Infiniti atau -1/12?

0 Comments
Baru-baru ini keputusan yang sangat aneh telah membuat pusingan. Ia mengatakan bahawa apabila anda menambah semua nombor semula jadi
1 + 2 + 3 + 4 + ...
maka jawapan untuk jumlah ini adalah -1/12. Ide ini dipaparkan dalam video Numberphile (lihat di bawah ), yang mendakwa untuk membuktikan hasilnya dan juga mengatakan bahawa ia digunakan di seluruh tempat dalam fizik. Orang ramai mendapati idea itu begitu mengejutkan bahawa ia bahkan membuatnya menjadi New York Times . Jadi apa maksudnya?

Matematik

Pertama sekali, jumlah tidak terhingga semua nombor semulajadi tidak sama dengan -1/12.Anda boleh dengan mudah meyakinkan diri anda tentang ini dengan mengetik ke kalkulator anda jumlah separa
img-0001
img-0002
img-0003
img-0004
img-0005
img-0006
dan sebagainya. The img-0007 semakin besar dan lebih besar semakin besar img-0008 mendapat, iaitu nombor yang lebih semula jadi yang anda sertakan. Malah, anda boleh buat img-0007 seberapa besar yang anda suka dengan memilih img-0008 cukup besar. Sebagai contoh, untuk img-0009 anda mendapatkan
img-0010
dan untuk img-0011 anda mendapatkan
img-0012
Itulah sebabnya ahli matematik mengatakan bahawa jumlahnya
img-0001
menyimpang kepada infiniti. Atau, untuk meletakkannya lebih longgar, bahawa jumlahnya sama dengan infiniti.
ramanujan
Srinivasa Ramanujan
Jadi di manakah -1/12 datang? Hasil yang salah sebenarnya muncul dalam karya ahli matematik India terkenal Srinivasa Ramanujan pada tahun 1913 (lihat artikel ini untuk maklumat lanjut). Tetapi Ramanujan tahu apa yang dia lakukan dan mempunyai alasan untuk menulisnya. Dia telah bekerja pada apa yang dipanggil fungsi Euler zeta . Untuk memahami apa itu, pertama pertimbangkan jumlah yang tidak terhingga
img-0001
Anda mungkin mengiktiraf ini sebagai jumlah yang anda dapat apabila anda mengambil setiap nombor semula jadi, segi empat, dan kemudian mengambil balasan:
img-0002
Sekarang jumlah ini tidak menyimpang. Jika anda mengambil urutan jumlah separa seperti yang kita lakukan di atas,
img-0003
img-0004
img-0005
img-0006
img-0007
maka keputusan yang anda dapatkan dengan sewenang-wenangnya, tidak pernah melebihi, jumlahnya img-0008 Ahli matematik mengatakan jumlah itu berkumpul img-0009 , atau lebih longgar, bahawa ia sama img-0010
Sekarang apa yang berlaku apabila bukannya menaikkan nombor semula jadi dalam penyebut kepada kuasa 2, anda membangkitkannya kepada beberapa kuasa lain img-0011 ? Ternyata jumlah yang sepadan
img-0012
menumpuk kepada nilai terhingga selagi kuasa img-0011 adalah nombor yang lebih besar daripada img-0013 .Untuk setiap img-0014 , ekspresi img-0015 mempunyai nilai yang terhingga dan terhingga. img-0015 adalah apa yang dipanggil fungsi , dan ia dipanggil fungsi Euler zeta selepas ahli matematik abad ke-17 Leonhard Euler yang produktif.
Setakat ini, sangat baik. Tetapi apa yang berlaku apabila anda memasukkan nilai img-0001 yang kurang daripada 1? Sebagai contoh, bagaimana jika anda memasuki img-0002 ? Mari lihat.
img-0003
img-0004
Jadi anda pulih jumlah asal kami, yang, seperti yang kita tahu, menyimpang. Begitu juga dengan nilai-nilai lain img-0001 kurang daripada atau sama dengan 1: jumlah diverges.

Memperluaskan fungsi zeta Euler

Oleh kerana ia berfungsi fungsi Euler zeta S (x)ditakrifkan untuk bilangan sebenar x yang lebih besar daripada 1. Nombor sebenar adalah sebahagian daripada nombor keluarga yang lebih besar yang dikenali sebagai nombor kompleks .Dan sementara bilangan sebenar sesuai dengan semua titik di sepanjang garis panjang yang tidak terhingga, nombor kompleks sesuai dengan semua titik pada satah, yang mengandungi garis nombor sebenar. Pesawat itu dipanggil pesawat kompleks. Sama seperti anda boleh menentukan fungsi yang mengambil nombor sebenar sebagai input, anda boleh menentukan fungsi yang mengambil nombor kompleks sebagai input.
Satu perkara yang mengagumkan mengenai fungsi nombor kompleks ialah jika anda mengetahui fungsi yang cukup baik untuk beberapa set input, maka (sehingga beberapa butiran teknikal) anda dapat mengetahui nilai fungsi di mana-mana di pesawat kompleks.Kaedah memperluaskan definisi fungsi dikenali sebagai kesinambungan analitik . Fungsi Euler zeta ditakrifkan untuk nombor nyata yang lebih besar daripada 1. Oleh kerana bilangan sebenar juga nombor kompleks, kita dapat menganggapnya sebagai fungsi kompleks dan kemudian menerapkan penerusan analitik untuk mendapatkan fungsi baru, yang ditakrifkan di seluruh satah tetapi bersetuju dengan Euler fungsi zeta untuk nombor nyata lebih besar daripada 1. Itu fungsi Riemann zeta.
Tetapi ada juga perkara lain yang boleh anda lakukan.Menggunakan beberapa matematik bertenaga tinggi (dikenali sebagai analisis yang rumit , lihat kotak) ada cara memperluaskan definisi fungsi Euler zeta kepada nombor img-0001 kurang daripada atau sama dengan 1 dengan cara yang memberikan anda nilai terhingga. Dengan kata lain, terdapat cara untuk menentukan fungsi baru, memanggilnya img-0002 supaya untuk img-0003
img-0004
dan untuk img-0005 fungsinya img-0006 mempunyai nilai yang terhingga dan terhingga. Kaedah pelanjutan ini dinamakan kesinambungan analitik dan fungsi baru yang anda panggil dipanggil fungsi Riemann zeta , selepas matematikian ke-18 ahli matematik Bernhard Riemann. (Membuat fungsi baru ini memberi anda nilai-nilai terhingga img-0007 melibatkan cerdik mengecilkan jumlah yang berbeza, sehingga infiniti dari jumlah penyelewengan pertama yang menolak infiniti dari jumlah yang berbeda memberi Anda sesuatu yang terbatas.)
OKEY. Jadi sekarang kita mempunyai fungsi img-0008 yang bersetuju dengan fungsi zeta Euler img-0009 apabila anda memasukkan nilai img-0003 . Apabila anda memasukkan nilai img-0010 , fungsi zeta memberikan keluaran terhingga. Nilai apa yang anda dapati apabila anda memasangkannya img-0011 ke dalam fungsi zeta? Anda telah meneka:
img-0012
Sekiranya anda kini membuat kesilapan untuk mempercayai perkara itu img-0013 untuk img-0011 , maka anda mendapat ekspresi (salah)
img-0014
Inilah salah satu cara untuk memahami ungkapan misteri Ramanujan.

Silap mata

Jadi, bagaimanakah orang-orang dalam video Numberphile "membuktikan" bahawa nombor semula jadi semua menambah sehingga -1/12? Jawapan sebenar ialah mereka tidak. Menonton video itu seperti menyaksikan seorang ahli silap mata dan cuba melihat mereka menyelinap arnab ke dalam topi. Langkah salah satu "bukti" cuba memujuk anda sesuatu yang agak bodoh, iaitu jumlah yang tidak terhingga
img-0001
adalah sama dengan img-0002
Video itu tidak tahan lama dan ini menyedarkannya. Tetapi mari kita lihat sedikit lebih dekat untuk melihat sama ada ia masuk akal sama sekali. Katakan bahawa jumlahnya img-0003 mempunyai nilai terhingga dan memanggilnya img-0004 . Menambah img-0004 untuk dirinya sendiri anda mendapat jumlah yang tidak terhingga
img-0005
Tetapi ini hanya jumlah asal, menyiratkan
img-0006
Sejak img-0007 ia mengikutinya img-0008 yang tidak masuk akal. Jadi pernyataan bahawa jumlah tak terhingga img-0009 boleh diambil sama dengan 1/2 tidak betul. Sebenarnya, anda boleh memperoleh pelbagai hasil yang mengacaukan dengan jumlah wang yang tak terbatas yang menyimpang. Ia satu helah!

Fizik

Tetapi bagaimanakah keputusan yang aneh dan yang salah ini menjadikannya buku teks fizik, seperti yang ditunjukkan dalam video? Di sinilah perkara benar-benar menarik. Katakan anda mengambil dua plat metalik dan susunnya dalam vakum supaya ia selari dengan satu sama lain.Menurut fizik klasik, tidak sepatutnya ada kekuatan bersih yang bertindak di antara kedua-dua plat itu.
casimir
Ilustrasi kesan Casimir. Imej: Emok .
Tetapi fizik klasik tidak menghitung dengan kesan pelik yang anda lihat apabila anda melihat dunia dengan skala yang sangat kecil. Untuk melakukan itu, anda memerlukan fizik kuantum, yang memberitahu kita banyak perkara yang sangat pelik. Salah satunya adalah bahawa vakum tidak kosong, tetapi bergetar dengan aktiviti. Apa yang dipanggil zarah-zarah mayamuncul dalam dan keluar dari masa ke masa. Aktiviti ini memberikan tenaga yang disebut titik sifar : tenagaterendah yang boleh dimiliki tidak pernah sifar (lihat di sini untuk lebih terperinci).
Apabila anda cuba mengira ketumpatan tenaga di antara kedua-dua plat menggunakan matematik fizik kuantum, anda akan memperoleh jumlah tak terhingga
img-0001
Jumlah tak terhingga ini juga apa yang anda dapat apabila anda memasukkan nilai img-0002 ke dalam fungsi Euler zeta:
img-0003
Itu malangnya, kerana jumlahnya menyimpang (ia lebih cepat daripada daripada img-0001 ), yang akan membayangkan ketumpatan tenaga tak terhingga. Ini jelas tidak masuk akal. Tetapi bagaimana jika anda cheekily menganggap bahawa jumlah tak terhingga sama dengan fungsi Riemann zeta, bukannya fungsi Euler zeta, yang dinilai pada img-0002 ? Nah, maka anda mendapat ketumpatan tenaga yang terhingga. Itu bermakna perlu ada daya yang menarik antara plat logam, yang juga nampaknya menggelikan, kerana fizik klasik mencadangkan tidak ada kekuatan.
Tetapi inilah kejutan. Apabila ahli fizik membuat eksperimen mereka mendapati bahawa daya itu wujud - dan ia sepadan dengan ketumpatan tenaga yang sama dengannya img-0003 !
Hasil fizikal yang mengejutkan ini dikenali sebagai kesan Casimir , selepas fizik Belanda Hendrik Casimir.
Luangkan masa untuk mengambil ini. Fizik kuantum mengatakan ketumpatan tenaga perlu
img-0001
Itulah karut, tetapi eksperimen menunjukkan bahawa jika anda (salah) menganggap jumlah ini sebagai fungsi zeta img-0002 dinilai pada img-0003 , anda mendapat jawapan yang betul. Jadi nampaknya sifat telah mengikuti idea yang kami jelaskan di atas. Ia memperluaskan fungsi Euler zeta untuk memasukkan nilai untuk img-0004 yang kurang dari 1, dengan bijak mengurangkan tak terbatas, dan sebagainya datang dengan nilai terhingga. Itu luar biasa!
Sebab mengapa kita lihat img-0005 dan img-0006 dalam video Numberphile dan buku teks fizik, bukannya img-0007 dan img-0008 ialah apabila anda membayangkan kesan Casimir seperti yang berlaku dalam satu dimensi (sepanjang garis dan bukannya dalam 3D), kepadatan tenaga yang anda kira adalah img-0005 bukannya img-0007 .
Jadi mengapa orang Numberphile mempublikasikan "hasil" pelik ini? Mereka pasti tahu mengenai kesinambungan analitik yang menjadikan fungsi itu jelas, tetapi itu sesuatu yang terlalu teknikal untuk video mereka. Mengetahui mereka mempunyai kaedah penerusan analitik, yang akan menjadikan keputusan akhir OK, tersembunyi di dalam poket belakang mereka, mereka meneruskan dengan tangan mereka. Dengan berbuat demikian mereka mendapat lebih daripada satu juta hits dan mempunyai dunia bercakap mengenai fungsi zeta dan matematik. Untuk ini mereka harus mengucapkan tahniah. Matematik fungsi zeta adalah hebat dan apa yang kita sebutkan di sini hanyalah permulaan senarai panjang sifat-sifat matematik yang luar biasa.Dalam membawa matematik dan fizik kepada orang ramai, kita sentiasa perlu membuat pilihan tentang apa yang kita tinggalkan dan apa yang kita jelaskan. Di mana untuk menarik garisan itu adalah sesuatu yang kita semua perlu meninggalkan hati nurani kita.
Page 1 of 212Last