Jumlah Ramanujan

Dalam teori nombor , cabang matematik , jumlah Ramanujan , biasanya dilambangkan c _q ( n ), adalah fungsi dua pemboleh ubah integer positif q dan n ditakrifkan oleh formula:

$$ {\ displaystyle c_ {q} (n) = \ sum_ {a = 1 \ atop (a, q) = 1} ^ {q} e ^ {2 \ pi i {\ tfrac {a} },}

di mana ( a , q ) = 1 bermakna bahawa hanya mengambil nilai-nilai nilai untuk q .

Srinivasa Ramanujan menyebut jumlahnya dalam kertas 1918. ^[1] Sebagai tambahan kepada pengembangan yang dibincangkan dalam artikel ini, jumlah Ramanujan digunakan dalam bukti teorema Vinogradov bahawa setiap bilangan ganjil yang cukup besar adalah jumlah tiga buah prima . ^[2]

Notasi [ sunting ]

Untuk bilangan bulat a dan b , $$ {\ displaystyle a \ mid b} dibaca "pembahagi b " dan bermaksud bahawa ada integer c seperti itu b = ac . Begitu juga, $$ {\ displaystyle a \ nmid b} dibaca "tidak membahagikan b ". Simbol penjumlahan

$$ {\ displaystyle \ sum _ {d \, \ mid \, m} f (d)}

ertinya d melalui semua pembahagi positif m , contohnya

$$ {\ displaystyle \ sum _ {d \, \ mid \, 12} f (d) = f (1) + f (2) + f (3) + f (4) + f (6) + f (12) .}

$$ {\ displaystyle (a, \, b)} adalah pembahagi umum yang paling besar ,

$$ {\ displaystyle \ phi (n)} adalah fungsi sepenuhnya Euler ,

$$ {\ displaystyle \ mu (n)} adalah fungsi Möbius , dan

$$ {\ displaystyle \ zeta (s)} adalah fungsi Riemann zeta .

Rumus untuk _{q q} ( n ) [ sunting ]

Trigonometri [ sunting ]

Formula ini berasal dari definisi, formula Euler $$ {\ displaystyle e ^ {ix} = \ cos x + i \ sin x,} dan identiti trigonometri asas.

 c \ {1} (n) & = \ tfrac {2} {3}} n \ pi \\ c_ {4} (n) & = 2 \ cos {\ tfrac {1} {2}} n \ pi \\ c_ {5} 2 \ cos {\ tfrac {2} {5}} n \ pi +2 \ cos {\ tfrac {4} {5}} n \ pi \\ c_ {6} (n) & = 2 \ cos {\ tfrac {1} {3}} n \ pi \\ c_ {7} (n) & = 2 \ cos {\ tfrac {2} {7}} n \ pi +2 \ cos {\ tfrac {4} {7} } n \ pi +2 \ cos {\ tfrac {6} {7}} n \ pi \\ c_ {8} (n) & = 2 \ cos {\ tfrac {1} {4}} n \ \ cos {\ tfrac {3} {4}} n \ pi \\ c_ {9} (n) & = 2 \ cos {\ tfrac {2} {9}} n \ pi +2 \ cos { 4} {9}} n \ pi +2 \ cos {\ tfrac {8} {9}} n \ pi \\ c_ {10} (n) & = 2 \ cos {\ tfrac {1} {5} n \ pi +2 \ cos {\ tfrac {3} {5}} n \ pi \\\ end {aligned}}}

dan sebagainya (  A000012 ,  A033999 ,  A099837 ,  A176742 , ..,  A100051 , ...) Mereka menunjukkan bahawa c _q ( n ) sentiasa nyata.

Kluyver [ sunting ]

Biarkan $$ {\ displaystyle \ zeta _ {q} = e ^ {\ frac {2 \ pi i} {q}}.} Kemudian ζ _q adalah akar persamaan x ^q - 1 = 0 . Setiap kuasa ζ _q , ζ _q ² , ... ζ _q ^q = ζ _q ⁰ = 1 juga merupakan akar. Oleh itu, kerana terdapat q dari mereka, semuanya adalah akar. Nombor-nombor ζ _q ⁿ di mana 1 ≤ n ≤ qdipanggil akar q -perpaduan . ζ _q dipanggil akar q -th primitif kesatuan kerana nilai terkecil n yang menjadikan ζ _q ⁿ = 1 adalah q . Aliran utama q -th primitif yang lain adalah nombor ζ _q ^a dimana ( a , q ) = 1. Oleh itu, terdapat φ ( q ) primitif q -th akar perpaduan.

Oleh itu, Ramanujan jumlah _{q q} ( n ) adalah jumlah kuasa-kuasa n yang pertama dari akar-akar utama perpaduan.

Ini adalah fakta ^[3] bahawa kuasa ζ _q adalah akar primitif bagi semua pembahagi q .

Contoh. Katakanlah q = 12. Kemudian

ζ ₁₂ , ζ ₁₂ ⁵ , ζ ₁₂ ⁷ , dan ζ ₁₂ ¹¹ adalah akar kesebelas primitif kesatuan,

ζ ₁₂ ² dan ζ ₁₂ ¹⁰ adalah akar keenam primitif perpaduan,

ζ ₁₂ ³ = i dan ζ ₁₂ ⁹ = - i adalah akar keempat primitif perpaduan,

ζ ₁₂ ⁴ dan ζ ₁₂ ⁸ adalah akar utama ketiga perpaduan,

ζ ₁₂ ⁶ = -1 adalah akar kedua primitif perpaduan, dan

ζ ₁₂ ¹² = 1 ialah akar utama pertama perpaduan.

Oleh itu, jika

$$ {\ displaystyle \ eta _ {q} (n) = \ sum _ {k = 1} ^ {q} \ zeta _ {q} ^ {kn}}

adalah jumlah kuasa n -semua semua akar, primitif dan berperanan,

$$ {\ displaystyle \ eta _ {q} (n) = \ sum _ {d \, \ mid \, q} c_ {d} (n),}

dan oleh penyongsangan Möbius ,

$$ {\ displaystyle c_ {q} (n) = \ sum _ {d \, \ mid \, q} \ mu \ left ({\ frac {q} {d}} \ right) \ eta _ {d} ).}}

Ini adalah dari identiti x ^q - 1 = ( x - 1) ( x ^q -1 + x ^q -2 + ... + x + 1) yang

 {\ displaystyle \ eta _ {q} (n) = {\ begin {cases} 0 & \; {\ mbox {if}} q \ nmid n \\ q & \; {\ mbox {if}} q \ \\ end {cases}}}

dan ini membawa kepada formula

$$ {\ displaystyle c_ {q} (n) = \ sum _ {d \, \ mid \, (q, n)} \ mu \ left ({\ frac {q} {d}} \ right) d,}

yang diterbitkan oleh Kluyver pada tahun 1906. ^[4]

Ini menunjukkan bahawa c _q ( n ) sentiasa integer. Bandingkan dengan formula itu

$$ {\ displaystyle \ phi (q) = \ sum _ {d \, \ mid \, q} \ mu \ left ({\ frac {q} {d}} \ right) d.}

von Sterneck [ sunting ]

Ia mudah dilihat dari definisi bahawa c _q ( n ) adalah multiplikatif apabila dianggap sebagai fungsi q untuk nilai tetap n : ^[5] iaitu

$$ {\ displaystyle {\ mbox {If}} \; (q, r) = 1 \; {\ mbox {then}} \; c_ {q} (n) c_ {r} (n) = c_ {qr} n).}

Dari takrif (atau formula Kluyver), ia adalah mudah untuk membuktikan bahawa, jika p adalah nombor perdana,

 {\ displaystyle c_ {p} (n) = {\ begin {cases} -1 & {\ mbox {if}} p \ nmid n \\\ phi (p) & {\ mbox {if}} p \ \\ end {cases}},}

dan jika p ^k adalah kuasa utama di mana k > 1,

 {\ displaystyle c_ {p ^ {k}} (n) = {\ begin {cases} 0 & {\ mbox {if}} p ^ {k-1} \ nmid n \ {\ mbox {if}} p ^ {k-1} \ mid n {\ mbox {and}} p ^ {k} \ nmid n \ } p ^ {k} \ mid n \\\ end {cases}}.}

Hasilnya dan harta berbipat boleh digunakan untuk membuktikan

$$ {\ displaystyle c_ {q} (n) = \ mu \ left ({\ frac {q} {(q, n)}} \ right) {\ frac {\ phi (q)} {\ phi \ \ frac {q} {(q, n)}} \ right)}}.}

Ini dipanggil fungsi aritmetik von Sterneck. ^[6] Kesamaan dan jumlah Ramanujan adalah disebabkan oleh Hölder. ^[7] [8]

Ciri-ciri lain dari c _q ( n ) [ sunting ]

Untuk semua integer positif q ,

$$ {\ displaystyle c_ {1} (q) = 1, \; \; c_ {q} (1) = \ mu (q), \; {\ mbox {and}} \; c_ {q} (q) \ phi (q).}

$$ {\ displaystyle {\ mbox {If}} m \ equiv n {\ pmod {q}} {\ mbox {then}} c_ {q} (m) = c_ {q}

Untuk nilai tetap q nilai mutlak urutan tersebut

c _q (1), c _q (2), ... dibatasi oleh φ ( q ), dan

untuk nilai tetap n nilai mutlak urutan

c ₁ ( n ), c ₂ ( n ), ... dibatasi oleh n .

Sekiranya q > 1

$$ {\ displaystyle \ sum _ {n = a} ^ {a + q-1} c_ {q} (n) = 0.}

Let m ₁ , m ₂ > 0, m = lcm ( m ₁ , m ₂ ). Kemudian ^[9] jumlah Ramanujan memenuhi sifat ortogonal :

 {\ displaystyle {\ frac {1} {m}} \ sum _ {k = 1} ^ {m} c_ {m_ {1}} (k) kes} \ phi (m) & m_ {1} = m_ {2} = m, \\ 0 & {\ text {otherwise}} \ end {cases}}}

Biarkan n , k > 0. Kemudian ^[10]

$$ {\ displaystyle \ sum _ {\ stackrel {d \ mid n} {\ gcd (d, k) = 1}} d \; {\ frac {\ mu ({\ tfrac {n} {d} \ phi (d)}} = {\ frac {\ mu (n) c_ {n} (k)} {\ phi (n)}},}

dikenali sebagai identiti Brauer - Rademacher .

Jika n > 0 dan a adalah sebarang integer, kita juga mempunyai ^[11]

$$ {\ displaystyle \ sum _ {\ stackrel {1 \ leq k \ leq n} {\ gcd (k, n) = 1}} c_ {n} (ka) = \ mu (n) c_ {n} ,}

disebabkan oleh Cohen.

Jadual [ sunting ]

Ramanujan Sum c _s ( n )

		n
		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
s	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
	2	-1	1	-1	1	-1	1	-1	1	-1	1	-1	1	-1	1	-1	1	-1	1	-1	1	-1	1	-1	1	-1	1	-1	1	-1	1
	3	-1	-1	2	-1	-1	2	-1	-1	2	-1	-1	2	-1	-1	2	-1	-1	2	-1	-1	2	-1	-1	2	-1	-1	2	-1	-1	2
	4	0	-2	0	2	0	-2	0	2	0	-2	0	2	0	-2	0	2	0	-2	0	2	0	-2	0	2	0	-2	0	2	0	-2
	5	-1	-1	-1	-1	4	-1	-1	-1	-1	4	-1	-1	-1	-1	4	-1	-1	-1	-1	4	-1	-1	-1	-1	4	-1	-1	-1	-1	4
	6	1	-1	-2	-1	1	2	1	-1	-2	-1	1	2	1	-1	-2	-1	1	2	1	-1	-2	-1	1	2	1	-1	-2	-1	1	2
	7	-1	-1	-1	-1	-1	-1	6	-1	-1	-1	-1	-1	-1	6	-1	-1	-1	-1	-1	-1	6	-1	-1	-1	-1	-1	-1	6	-1	-1
	8	0	0	0	-4	0	0	0	4	0	0	0	-4	0	0	0	4	0	0	0	-4	0	0	0	4	0	0	0	-4	0	0
	9	0	0	-3	0	0	-3	0	0	6	0	0	-3	0	0	-3	0	0	6	0	0	-3	0	0	-3	0	0	6	0	0	-3
	10	1	-1	1	-1	-4	-1	1	-1	1	4	1	-1	1	-1	-4	-1	1	-1	1	4	1	-1	1	-1	-4	-1	1	-1	1	4
	11	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	10	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	10	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1
	12	0	2	0	-2	0	-4	0	-2	0	2	0	4	0	2	0	-2	0	-4	0	-2	0	2	0	4	0	2	0	-2	0	-4
	13	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	12	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	12	-1	-1	-1	-1
	14	1	-1	1	-1	1	-1	-6	-1	1	-1	1	-1	1	6	1	-1	1	-1	1	-1	-6	-1	1	-1	1	-1	1	6	1	-1
	15	1	1	-2	1	-4	-2	1	1	-2	-4	1	-2	1	1	8	1	1	-2	1	-4	-2	1	1	-2	-4	1	-2	1	1	8
	16	0	0	0	0	0	0	0	-8	0	0	0	0	0	0	0	8	0	0	0	0	0	0	0	-8	0	0	0	0	0	0
	17	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	16	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1
	18	0	0	3	0	0	-3	0	0	-6	0	0	-3	0	0	3	0	0	6	0	0	3	0	0	-3	0	0	-6	0	0	-3
	19	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	18	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1
	20	0	2	0	-2	0	2	0	-2	0	-8	0	-2	0	2	0	-2	0	2	0	8	0	2	0	-2	0	2	0	-2	0	-8
	21	1	1	-2	1	1	-2	-6	1	-2	1	1	-2	1	-6	-2	1	1	-2	1	1	12	1	1	-2	1	1	-2	-6	1	-2
	22	1	-1	1	-1	1	-1	1	-1	1	-1	-10	-1	1	-1	1	-1	1	-1	1	-1	1	10	1	-1	1	-1	1	-1	1	-1
	23	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	22	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1
	24	0	0	0	4	0	0	0	-4	0	0	0	-8	0	0	0	-4	0	0	0	4	0	0	0	8	0	0	0	4	0	0
	25	0	0	0	0	-5	0	0	0	0	-5	0	0	0	0	-5	0	0	0	0	-5	0	0	0	0	20	0	0	0	0	-5
	26	1	-1	1	-1	1	-1	1	-1	1	-1	1	-1	-12	-1	1	-1	1	-1	1	-1	1	-1	1	-1	1	12	1	-1	1	-1
	27	0	0	0	0	0	0	0	0	-9	0	0	0	0	0	0	0	0	-9	0	0	0	0	0	0	0	0	18	0	0	0
	28	0	2	0	-2	0	2	0	-2	0	2	0	-2	0	-12	0	-2	0	2	0	-2	0	2	0	-2	0	2	0	12	0	2
	29	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	28	-1
	30	-1	1	2	1	4	-2	-1	1	2	-4	-1	-2	-1	1	-8	1	-1	-2	-1	-4	2	1	-1	-2	4	1	2	1	-1	8

Ekspansi Ramanujan [ sunting ]

Jika f ( n ) ialah fungsi aritmetik (iaitu fungsi yang bernilai kompleks bilangan bulat atau nombor semula jadi), maka siri tak terhingga bentuk:

$$ {\ displaystyle f (n) = \ sum _ {q = 1} ^ {\ infty} a_ {q} c_ {q} (n)}

atau bentuknya:

$$ {\ displaystyle f (q) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} c_ {q} (n)}

di mana a _k ∈ C , dipanggil pengembangan Ramanujan ^[12] f ( n ).

Ramanujan mendapati ekspansi beberapa fungsi terkenal teori nombor. Kesemua keputusan ini dibuktikan dengan cara "asas" (iaitu hanya menggunakan manipulasi formal siri dan keputusan paling mudah mengenai konvergensi). ^{[13] [14] [15]}

Perkembangan fungsi sifar bergantung kepada hasil daripada teori analitik nombor utama, iaitu siri tersebut

$$ {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ mu (n)} {n}}}

menumpu kepada 0, dan keputusan untuk r ( n ) dan r '( n ) bergantung kepada teorem dalam kertas terdahulu. ^[16]

Semua formula dalam bahagian ini adalah dari kertas 1919 Ramanujan.

Menjana fungsi [ sunting ]

Fungsi penjanaan jumlah Ramanujan adalah siri Dirichlet :

$$ {\ displaystyle \ zeta (s) \ sum _ {\ delta \, \ mid \, q} \ mu \ left ({\ frac {q} {\ delta}} \ right) \ delta ^ {1-s} = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {c_ {q} (n)} {n ^ {s}}}}

adalah fungsi penjanaan untuk urutan c _q (1), c _q (2), ... di mana q disimpan malar, dan

$$ {\ displaystyle {\ frac {\ sigma _ {r-1} (n)} {n ^ {r-1} \ zeta (r)}} = \ sum _ {q = 1} ^ {\ infty} {\ frac {c_ {q} (n)} {q ^ {r}}}}

adalah fungsi penjanaan untuk urutan c ₁ ( n ), c ₂ ( n ), ... di mana n disimpan malar.

Terdapat juga dua Siri Dirichlet

$$ {\ displaystyle {\ frac {\ zeta (s) \ zeta (r + s-1)} {\ zeta (r)}} = \ sum _ {q = 1} ^ {\ infty} 1} ^ {\ infty} {\ frac {c_ {q} (n)} {q ^ {r} n ^ {s}}}}}

σ _k ( n ) [ sunting ]

σ _k ( n ) ialah fungsi pembahagi (iaitu jumlah kekuasaan k -th bagi pembahagi n , termasuk 1 dan n ). σ ₀ ( n ), bilangan pembahagi n , biasanya ditulis d ( n ) dan σ ₁ ( n ), jumlah pembahagi n , biasanya ditulis σ ( n ).

Jika s > 0,

$$ {\ displaystyle \ sigma _ {s} (n) = n ^ {s} \ zeta (s + 1) \ left ({\ frac {c_ {1} (n)} {1 ^ {s + + {\ frac {c_ {2} (n)} {2 ^ {s + 1}}} + {\ frac {c_ {3} (n) kanan)}

dan

$$ {\ displaystyle \ sigma _ {- s} (n) = \ zeta (s + 1) \ left ({\ frac {c_ {1} (n)} {1 ^ {s + 1}}} + {\ frac {c_ {2} (n)} {2 ^ {s + 1}}} + {\ frac {c_ {3} (n)} {3 ^ {s + 1}}} + \

Menetapkan s = 1 memberi

$$ {\ displaystyle \ sigma (n) = {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}} n \ left ({\ frac {c_ {1} (n)} {1} {2} (n)} {4}} + {\ frac {c_ {3} (n)} {9}} + \ dots \ right).}

Sekiranya hipotesis Riemann adalah benar, dan  {\ displaystyle - {\ tfrac {1} {2}} <s <{\ tfrac {1} {2}},}

$$ {\ displaystyle \ sigma _ {s} (n) = \ zeta (1 s) \ left ({\ frac {c_ {1} (n)} {1 ^ {1-s}}} c_ {2} (n)} {2 ^ {1-s}}} + {\ frac {c_ {3} (n)} {3 ^ {1-s}}} {s} \ zeta (1 + s) \ left ({\ frac {c_ {1} (n)} {1 ^ {1 + s}}} + {\ frac {c_ {2} ^ {1 + s}}} + {\ frac {c_ {3} (n)} {3 ^ {1 + s}}} + \ dots \ right).}

d ( n ) [ sunting ]

d ( n ) = σ ₀ ( n ) ialah bilangan pembahagi n , termasuk 1 dan n itu sendiri.

 {\ displaystyle {\ begin {aligned} -d (n) & = {\ frac {\ log 1} {1}} c_ {1} (n) + {\ frac {\ log 2} {2} 2} (n) + {\ frac {\ log 3} {3}} c_ {3} (n) + \ dots \\ - d (n) \ log ^ {2} 1} {1}} c_ {1} (n) + {\ frac {\ log ^ {2} 2} {2}} c_ {2} (n) + {\ frac { ^ {2} 3} {3}} c_ {3} (n) + \ cdots \ end {aligned}}}

di mana γ = 0.5772 ... ialah pemalar Euler-Mascheroni .

φ ( n ) [ sunting ]

Fungsi absolut Euler φ ( n ) adalah bilangan bilangan bulat positif yang kurang daripada n dan coprime kepada n . Ramanujan mentakrifkan generalisasinya, jika

$$ {\ displaystyle n = p_ {1} ^ {a_ {1}} p_ {2} ^ {a_ {2}} p_ {3} ^ {a_ {3}} \ cdots}

adalah penumpukan utama n , dan s adalah nombor kompleks, mari

$$ {\ displaystyle \ varphi _ {s} (n) = n ^ {s} (1-p_ {1} ^ {- s}) (1-p_ {2} } ^ {- s}) \ cdots,}

supaya φ ₁ ( n ) = φ ( n ) adalah fungsi Euler. ^[17]

Dia membuktikannya

$$ {\ displaystyle {\ frac {\ mu (n) n ^ {s}} {\ varphi _ {s} (n) \ zeta (s)}} = \ sum _ {\ nu = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ mu (n \ n)} {\ nu ^ {s}}}}

dan menggunakannya untuk menunjukkannya

$$ {\ displaystyle {\ frac {\ varphi _ {s} (n) \ zeta (s + 1)} {n ^ {s}}} = {\ frac {\ mu (1) c_ {1} (n) {\ varphi _ {s + 1} (1)}} + {\ frac {\ mu (2) c_ {2} (n)} {\ varphi _ {s + 1} (2)}} + {\ frac {\ mu (3) c_ {3} (n)} {\ varphi _ {s + 1} (3)}} + \ dots.}

Membiarkan s = 1,

$$ {\ displaystyle \ varphi (n) = {\ frac {6} {\ pi ^ {2}}} n \ left (c_ {1} (n) - {\ frac {c_ {2} ^ {2} -1}} - {\ frac {c_ {3} (n)} {3 ^ {2} -1}} - {\ frac {c_ {5} (n)} {5 ^ {2} -1}} + {\ frac {c_ {6} (n)} {(2 ^ {2} -1) (3 ^ {2} -1)}} - {\ frac {c_ {7} {7} {2} -1}} + {\ frac {c_ {10} (n)} {(2 ^ {2} -1) (5 ^ {2} -1)}} - \ ).}}

Perhatikan bahawa pemalar adalah songsang ^[18] dari satu dalam formula untuk σ ( n ).

Λ ( n ) [ sunting ]

Fungsi Von Mangoldt Λ ( n ) = 0 melainkan n = p ^k adalah kuasa nombor perdana, yang mana ia adalah log logikithm semula jadi.

$$ {\ displaystyle - \ Lambda (m) = c_ {m} (1) + {\ frac {1} {2}} c_ {m} (2) (3) + \ dots}

Zero [ sunting ]

Untuk semua n > 0,

$$ {\ displaystyle 0 = c_ {1} (n) + {\ frac {1} {2}} c_ {2} (n) + {\ frac { titik.}

Ini bersamaan dengan teorem nombor perdana . ^[19] [20]

r _2 s ( n ) (jumlah petak) [ sunting ]

r _2 s ( n ) adalah bilangan cara mewakili n sebagai jumlah kuadrat 2 s , mengira pesanan dan tanda yang berlainan yang berbeza (misalnya, r ₂ (13) = 8, sebagai 13 = (± 2) ² + ( ± 3) ² = (± 3) ² + (± 2) ^2. )

Ramanujan mentakrifkan fungsi δ2 _s ( n ) dan rujukan kertas ^[21] di mana dia membuktikan bahawa r _2 s ( n ) = δ _2 s ( n ) untuk s = 1, 2, 3, 4 dia menunjukkan bahawa δ2 _s ( n ) adalah penghampiran yang baik untuk r2 _s ( n ).

s = 1 mempunyai formula khas:

$$ {\ displaystyle \ delta _ {2} (n) = \ pi \ left ({\ frac {c_ {1} (n)} {1}} - {\ frac {c_ {3} (n)} {3} } + {\ frac {c_ {5} (n)} {5}} - \ dots \ right).}

Dalam formula berikut, tanda-tanda berulang dengan tempoh 4.

Jika s ≡ 0 (mod 4)

$$ {\ displaystyle \ delta _ {2s} (n) = {\ frac {\ pi ^ {s} n ^ {s-1}} {(s-1)!}} \ left ({\ frac {c_ {1 {n}} {2} {}}} + {\ frac {c_ {3} (n)} {3 ^ {s}}} + {\ frac {c_ {8} (n)} {4 ^ {s}}} + {\ frac {c_ {5} frac {c_ {12} (n)} {6 ^ {s}}} + {\ frac {c_ {7} (n)} {7 ^ {s}}} + {\ frac {c_ {16} )} {8 ^ {s}}} + \ dots \ right)}

Jika s ≡ 2 (mod 4)

$$ {\ displaystyle \ delta _ {2s} (n) = {\ frac {\ pi ^ {s} n ^ {s-1}} {(s-1)!}} \ left ({\ frac {c_ {1 {n}} {2} {}}} + {\ frac {c_ {3} (n)} {3 ^ {s}}} - {\ frac {c_ {8} (n)} {4 ^ {s}}} + {\ frac {c_ {5} frac {c_ {12} (n)} {6 ^ {s}}} + {\ frac {c_ {7} (n)} {7 ^ {s}}} - {\ frac {c_ {16} )} {8 ^ {s}}} + \ dots \ right)}

Jika s ≡ 1 (mod 4) dan s > 1,

$$ {\ displaystyle \ delta _ {2s} (n) = {\ frac {\ pi ^ {s} n ^ {s-1}} {(s-1)!}} \ left ({\ frac {c_ {1 {n}} {2} {}}}} {n}} {n} {s}}} + {\ frac {c_ {8} (n)} {4 ^ {s}}} + {\ frac {c_ {5} frac {c_ {12} (n)} {6 ^ {s}}} - {\ frac {c_ {7} (n)} {7 ^ {s}}} + {\ frac {c_ {16} )} {8 ^ {s}}} + \ dots \ right)}

Sekiranya s ≡ 3 (mod 4)

$$ {\ displaystyle \ delta _ {2s} (n) = {\ frac {\ pi ^ {s} n ^ {s-1}} {(s-1)!}} \ left ({\ frac {c_ {1 {n}} {2}}}} - {\ frac {c_ {3} (n)} {3 ^ {s}}} - {\ frac {c_ {8} (n)} {4 ^ {s}}} + {\ frac {c_ {5} frac {c_ {12} (n)} {6 ^ {s}}} - {\ frac {c_ {7} (n)} {7 ^ {s}}} - {\ frac {c_ {16} )} {8 ^ {s}}} + \ dots \ right)}

dan oleh itu,

 {\ displaystyle {\ begin {aligned} r_ {2} (n) & = \ pi \ left ({\ frac {c_ {1} (n)} {1}} - {\ frac {c_ {3} }} {3}} + {\ frac {c_ {5} (n)} {5}} - {\ frac {c_ {7} (n)} {7}} + {\ frac {c_ {11} n}} {11}} - {\ frac {c_ {13} (n)} {13}} + {\ frac {c_ {15} (n)} { (n)} {17}} + \ cdots \ right) \\ r_ {4} (n) & = \ pi ^ {2} n \ left ({\ frac {c_ {1} } - {\ frac {c_ {4} (n)} {4}} + {\ frac {c_ {3} (n)} {9}} - {\ frac {c_ {8} (n)} {16 }} {{frac {c} {n}} {25} 49}} - {\ frac {c_ {16} (n)} {64}} + \ cdots \ right) \\ r_ {6} (n) & = {\ {}} \ Left ({\ frac {c_ {1} (n)} {1}} - {\ frac {c_ {4} (n)} {8} 3} (n)} {27}} - {\ frac {c_ {8} (n)} {64}} + {\ frac {c_ {5} {12} (n)} {216}} - {\ frac {c_ {7} (n)} {343}} - {\ frac {c_ {16} (n)} {512}} + \ cdots \ ) \\ r_ {8} (n) & = {\ frac {\ pi ^ {4} n ^ {3}} {6}} \ left ({\ frac {c_ {1} (n)} {1} } {{frac {c_ {4} (n)} {16}} + }} + {\ frac {c_ {5} (n)} {625}} + {\ frac {c_ {12} (n)} {1296}} + {\ frac {c_ {7} 2401}} + {\ frac {c_ {16} (n)} {4096}} + \ cdots \ right) \ end {aligned}}}

r ' _2 s ( n ) (jumlah segi tiga) [ sunting ]

r ' _2 s ( n ) adalah bilangan cara n boleh diwakili sebagai jumlah 2 nombor segi tiga (iaitu nombor 1, 3 = 1 + 2, 6 = 1 + 2 + 3, 10 = 1 + 2 + 3 + 4, 15, ...; nombor segi tiga n- diberikan oleh formula n ( n + 1) / 2.)

Analisis di sini adalah sama dengan yang untuk dataran. Ramanujan merujuk kepada kertas yang sama seperti yang dilakukannya untuk kotak-kotak, di mana ia menunjukkan bahawa terdapat fungsi δ ' _2 s ( n ) seperti r ' _2 s ( n ) = δ ' _2 s ( n ) 2, 3 dan 4, dan bahawa untuk s > 4, δ ' _2 s ( n ) adalah penghampiran yang baik untuk r ' _2 s ( n ).

Sekali lagi, s = 1 memerlukan formula khas:

$$ {\ displaystyle \ delta '_ {2} (n) = {\ frac {\ pi} {4}} \ left ({\ frac {c_ {1} (4n + 1)} {1} {c_ {3} (4n +1)} {3}} + {\ frac {c_ {5} (4n + 1)} {5}} - {\ frac {c_ {7} (4n + 7}} + \ dots \ right).}

Jika s adalah berbilang daripada 4,

$$ {\ displaystyle \ delta '_ {2s} (n) = {\ frac {({\ frac {\ pi} {2}}) ^ {s}} {(s-1)!} \ frac {s} {4}} \ right) ^ {s-1} \ left ({\ frac {c_ {1} (n + {\ frac {s} {4} } + {\ frac {c_ {3} (n + {\ frac {s} {4}}}} {\ frac {c} {} 4}})} {5 ^ {s}}} + \ dots \ right).}

Jika s adalah dua kali bilangan ganjil,

$$ {\ displaystyle \ delta '_ {2s} (n) = {\ frac {({\ frac {\ pi} {2}}) ^ {s}} {(s-1)!} \ frac {s} {4}} \ right) ^ {s-1} \ left ({\ frac {c_ {1} (2n + {\ frac {s} {2} } + {\ frac {c_ {3} (2n + {\ frac {s} {2}})} {3 ^ 2}})} {5 ^ {s}}} + \ dots \ right).}

Jika s adalah nombor ganjil dan s > 1,

$$ {\ displaystyle \ delta '_ {2s} (n) = {\ frac {({\ frac {\ pi} {2}}) ^ {s}} {(s-1)!} {\ frac {c} {\} 3} (4n + s)} {3 ^ {s}}} + {\ frac {c_ {5} (4n + s)} {5 ^ {s}}} - \

Oleh itu,

 {\ displaystyle {\ begin {aligned} r '_ {2} (n) & = {\ frac {\ pi} {4}} \ left ({\ frac {c_ {1} (4n + 1)} {1 }} - {\ frac {c_ {3} (4n + 1)} {3}} + {\ frac {c_ {5} (4n + 1)} {5}} - {\ frac {c_ {7} (N) & = \ left ({\ tfrac {\ pi} {2}} \ right) ^ {2} \ kiri (n + {\ tfrac {1} {2}} \ kanan) \ left ({\ frac {c_ {1} (2n + 1)} {1} }} {9}} + {\ frac {c_ {5} (2n + 1)} {25}} + \ dots \ right) \\ r '_ {6} (n) & = {\ \ tfrac {\ pi} {2}}) ^ {3}} {2}} \ left (n + {\ tfrac {3} {4} 1} (4n + 3)} {1}} - {\ frac {c_ {3} (4n + 3)} {27}} + {\ frac {c_ {5} (4n + 3)} {125} - \ dots \ right) \\ r '_ {8} (n) & = {\ frac {({\ frac {1} {2}} \ pi) ^ {4} ) ^ {3} \ left ({\ frac {c_ {1} (n + 1)} {1}} + {\ frac {c_ {3} (n +1) c_ {5} (n + 1)} {625}} + \ dots \ right) \ end {aligned}}}

Jumlah [ sunting ]

Biarkan

 {\ displaystyle {\ begin {aligned} T_ {q} (n) & = c_ {q} (1) + c_ {q} (2) + \ dots + c_ {q} (n) & = T_ {q} (n) + {\ tfrac {1} {2}} \ phi (q) \ end {aligned}}}

Kemudian untuk s > 1 ,

 {\ displaystyle {\ begin {aligned} \ sigma _ {- s} (1) + \ cdots + \ sigma _ {- s} (n) & = \ zeta (s + T_ {2} (n)} {2 ^ {s + 1}}} + {\ frac {T_ {3} (n)} { (n) {\ frac {1} {2}} + {\ frac { U_ {2} (n)} {2 ^ {s + 1}}} + {\ frac {U_ {3} (n)} {3 ^ {s + (n)} {4 ^ {s + 1}}} + \ cdots \ right) - {\ tfrac {1} {2}} \ zeta (d) {\ frac {T_ {2} (n) \ log 2} {2}} - {\ frac {T_ {3} (n) \ log 3} {3} (n) \ log 4} {4}} - \ cdots, \\ d (1) \ log 1+ \ cdots + d (n) \ log n & = - {\ frac {T_ {2} 2 \ gamma \ log 2 \ log ^ {2} 2)} {2}} - {\ frac {T_ {3} (n) (2 \ gamma \ log 3 \ log ^ {2} 3}} - {\ frac {T_ {4} (n) (2 \ gamma \ log 4- \ log ^ {2} 4)} {4}} - \ cdots, \\ r_ {2} \ cdots + r_ {2} (n) & = \ pi \ left (n - {\ frac {T_ {3} (n)} {3}} + {\ frac {T_ {5} }} - {\ frac {T_ {7} (n)} {7}} + \ cdots \ right). \ end {aligned}}}

Lihat juga