Penjumlahan Ramanujan

Penjelasan Ramanujan

Penjelasan Ramanujan adalah teknik yang dicipta oleh ahli matematik Srinivasa Ramanujan untuk memberikan nilai kepada siri tak terbatas yang berbeza . Walaupun ringkasan Ramanujan dari siri yang berbeza bukan jumlah dalam pengertian tradisional, ia mempunyai sifat-sifat yang menjadikannya berguna secara matematik dalam kajian siri tak terbatas yangberbeza, yang mana penjumlahan konvensional tidak dapat ditentukan.

Penjumlahan [ sunting ]

Penjelasan Ramanujan pada dasarnya adalah harta dari jumlah separa, dan bukannya harta dari keseluruhan jumlah, kerana itu tidak wujud. Jika kita mengambil formula penjumlahan Euler-Maclaurin bersama-sama dengan peraturan pembetulan menggunakan nombor Bernoulli , kita lihat bahawa:

 {\ displaystyle {\ begin {aligned} {} & {\ frac {1} {2}} f (0) + f (1) + \ cdots + f (n-1) + {\ frac {1} {2 }} f (n) \\ = {} & {\ frac {1} {2}} [f (0) + f (n)] + \ sum _ {k = 1} ^ {n-1} f ( k) \\ = {} & \ int _ {0} ^ {n} f (x) \, dx + \ sum _ {k = 1} ^ {p} {\ frac {B_ {k + 1} k + 1)!}} \ left [f ^ {(k)} (n) -f ^ {(k)} (0) \ right] + R_ {p} \ end {

Ramanujan ^[1] menulisnya untuk kes yang akan berlaku tanpa batas:

$$ {\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {x} f (k) = C + \ int _ {0} ^ {x} f (t) \, dt + {\ frac {1} {2} x) + \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {2k}} {(2k)!}} f ^ {(2k-1)} (x)

di mana C adalah khusus berterusan untuk siri ini dan kesinambungan analisisnya dan batasan pada integral tidak ditentukan oleh Ramanujan, tetapi mungkin mereka diberikan seperti di atas. Membandingkan kedua-dua formula dan mengandaikan bahawa R cenderung kepada 0 kerana x cenderung tak terhingga, kita melihat bahawa, dalam kes umum, untuk fungsi f ( x ) tanpa perbezaan di x = 0:

$$ {\ displaystyle C (a) = \ int _ {0} ^ {a} f (t) \, dt - {\ frac {1} {2}} f (0) - \ sum _ {k = 1} {\ infty} {\ frac {B_ {2k}} {(2k)!}} f ^ {(2k-1)} (0)}

di mana Ramanujan diandaikan $$ {\ displaystyle \ scriptstyle a \, = \, 0} . Dengan mengambil $$ {\ displaystyle \ scriptstyle a \, = \, \ infty} kita biasanya memperoleh semula penjumlahan biasa untuk siri konvergensi. Untuk fungsi f ( x ) tanpa perbezaan di x = 1, kita dapati:

$$ {\ displaystyle C (a) = \ int _ {1} ^ {a} f (t) \, dt + {\ frac {1} {2}} f (1) - \ sum _ {k = 1} ^ { \ infty} {\ frac {B_ {2k}} {(2k)!}} f ^ {(2k-1)} (1)}

C (0) kemudiannya dicadangkan untuk digunakan sebagai jumlah urutan yang berbeza. Ia seperti jambatan antara penjumlahan dan integrasi.

Versi konvergensi untuk penjumlahan untuk fungsi dengan keadaan pertumbuhan yang sesuai ialah:

$$ {\ displaystyle f (1) + f (2) + f (3) + \ cdots = - {\ frac {f (0)} {2}} + i \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {f (it) -f (-it)} {e ^ {2 \ pi t} -1}} \, dt}

Untuk membandingkan, lihat formula Abel-Plana .

Jumlah siri divergen [ sunting ]

Dalam teks berikut, $$ {\ displaystyle \ scriptstyle (\ Re)} menunjukkan "penjumlahan Ramanujan". Formula ini mula-mula muncul di salah satu buku nota Ramanujan, tanpa sebarang notasi untuk menunjukkan bahawa ia adalah contoh kaedah baru penjumlahan.

Sebagai contoh, $$ {\ displaystyle \ scriptstyle (\ Re)} dari 1 - 1 + 1 - ⋯ adalah:

$$ {\ displaystyle 1-1 + 1- \ cdots = {\ frac {1} {2}} \ (\ Re).}

Ramanujan telah mengira "jumlah" siri yang berbeza. Adalah penting untuk menyebutkan bahawa jumlah Ramanujan bukan jumlah siri dalam pengertian biasa, ^[2] [3] iaitu jumlah separa tidak berkumpul kepada nilai ini, yang dilambangkan oleh simbol $$ {\ displaystyle \ scriptstyle (\ Re)} . Khususnya, yang $$ {\ displaystyle \ scriptstyle (\ Re)} jumlah 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ dikira sebagai:

$$ {\ displaystyle 1 + 2 + 3 + \ cdots = - {\ frac {1} {12}} \ (\ Re)}

Memperluas kepada kuasa walaupun positif, ini memberi:

$$ {\ displaystyle 1 + 2 ^ {2k} + 3 ^ {2k} + \ cdots = 0 \ (\ Re)}

dan untuk kuasa ganjil pendekatan itu mencadangkan hubungan dengan nombor Bernoulli :

$$ {\ displaystyle 1 + 2 ^ {2k-1} + 3 ^ {2k-1} + \ cdots = - {\ frac {B_ {2k}} {2k}} \ (\ Re)}

Ia telah dicadangkan untuk menggunakan C (1) dan bukannya C (0) sebagai hasil daripada penjumlahan Ramanujan, oleh kerana itu dapat dipastikan satu siri $$ {\ displaystyle \ scriptstyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} f (k)} mengakui satu dan hanya satu penjumlahan Ramanujan, yang ditakrifkan sebagai nilai dalam 1 satu-satunya penyelesaian persamaan perbezaan $$ {\ displaystyle \ scriptstyle R (x) \, - \, R (x \, + \, 1) \, = \, f (x)} yang mengesahkan keadaan $$ {\ displaystyle \ scriptstyle \ int _ {1} ^ {2} R (t) \, dt \, = \, 0} . ^[4]

Takrifan penjelasan Ramanujan ini (dilabelkan sebagai $$ {\ displaystyle \ scriptstyle \ sum _ {n \ geq 1} ^ {\ Re} f (n)} ) tidak bersamaan dengan penjelasan Ramanujan sebelumnya, C (0), atau dengan penjumlahan siri konvergensi, tetapi ia mempunyai ciri-ciri yang menarik, seperti: Jika R ( x ) cenderung mempunyai batas terhingga apabila x → +1, maka siri ini $$ {\ displaystyle \ scriptstyle \ sum _ {n \ geq 1} ^ {\ Re} f (n)} adalah konvergen, dan kita ada

$$ {\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 1} ^ {\ Re} f (n) = \ lim _ {N \ to \ infty} \ left [\ sum _ {n = 1} ^ {N} f (n ) - \ int _ {1} ^ {N} f (t) \, dt \ right]}

Khususnya kita mempunyai:

$$ {\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 1} ^ {\ Re} {\ frac {1} {n}} = \ gamma}

di mana γ ialah pemalar Euler-Mascheroni .

Resume Ramanujan dapat diperluas ke integral; contohnya, menggunakan formula penjumlahan Euler-Maclaurin, seseorang boleh menulis

$$ {\ displaystyle {\ begin {aligned} \ int _ {a} ^ {\ infty} x ^ {ms} \, dx = {\ frac {ms} {2}} \ int _ {a} ^ {\ infty} x ^ {m-1-s} \, dx + \ zeta (sm) - \ sum _ {i = 1} ^ {a} i ^ {ms} + a ^ {ms} \\ { r = 1} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {2r} \ Gamma (m-s + 1)} {(2r)! \ Gamma (m-2r + 2-s) 1-s) \ int _ {a} ^ {\ infty} x ^ {m-2r-s} \, dx \ end {aligned}}}

yang merupakan lanjutan semulajadi kepada integrasi algoritma Zeta regularization.

Persamaan ulangan ini terhingga, kerana untuk  {\ displaystyle m-2r <-1} ,

$$ {\ displaystyle \ qquad \ int _ {a} ^ {\ infty} dx \, x ^ {m-2r} = - {\ frac {a ^ {m-2r + 1}} {m-2r + 1} ,}

di mana

$$ {\ displaystyle I (n, \ lambda) \, = \, \ int _ {0} ^ {\ Lambda} dx \, x ^ {n}} (lihat regulatariasi fungsi zeta ).

Dengan $$ {\ displaystyle \ Lambda \ rightarrow \ infty} , penerapan resume Ramanujan ini meminjamkan kepada keputusan terhingga dalam renormalisasi teori bidang kuantum .